^{【探索】單孔銷浮動(三)：DTAS在圓內均勻分布的實現與驗證！}

概要：上幾期文章中為實現均勻分布我們通常對半徑r在區間[0,R]內按均勻分布采樣，對角度θ在區間[0,2π）內按均勻分布采樣,實際這種方法并不是真正的均勻分布。本文將繼續探討如何真正實現銷在孔內的均勻分布。我們不僅關注公差仿真建模，并且還探討深挖其背后的理論知識。

一. 現場工況與分析價值

眾所周知，孔銷配合一般用于對手件之間的相對定位。為保證孔銷的順利裝配，一般兩者的名義尺寸不同，且孔的下限尺寸比銷的上限尺寸稍大，因此銷在孔中存在相對位置浮動。

仍考慮單孔銷配合，上一期我們探討了孔銷相切的最大浮動工況，但現實中還存在其它的工況。例如：自動化生產線裝配中，當機器人的定位精度足夠高時，零件的配合到位不需要銷頭部圓弧的導向，裝配后孔銷也未必相切接觸。弱化導向作用后，孔銷中心的相對位置可按正態分布仿真建模。當然現實生產中，由于后續夾具定位，連接緊固的存在，孔銷浮動一般不會按上述理想的正態分布處理，而會在正態分布與相切浮動這兩個極端中尋找一種中間狀態，如按圓內均勻分布進行假設，如下圖1所示。

圖1 單銷孔配合符合圓內均勻分布

二、 模擬方法一

銷在圖1的圓形公差帶內均勻分布，我們首先想到的是可以利用極坐標系分別定義半徑變量為r，角度變量為θ。對半徑r在區間[0,R]內按均勻分布采樣，對角度θ在區間[0,2π）內按均勻分布采樣。

2.1 仿真動畫驗證

我們按圖1的單孔銷尺寸建立DTAS仿真模型，并令銷在孔內按照方法定義的分布形式進行裝配，仿真結果如下。

圖2 半徑和角度按均勻分布采樣

仔細觀察圖2點分布的最終位置，中心密度更高，顯然不滿足圓內均勻分布的目標要求。

2.2 仿真結果的概率分布

我們進一步為銷中心建立垂直方向的虛擬測量，進行5000次虛擬裝配后得到圖3仿真測量結果，標準差為0.205分布。

圖3 銷中心垂直方向波動量仿真結果

三、模擬方法二

因為在半徑R的圓內均勻分布，r和θ的聯合概率密度f(r，θ)=1/πR2要求角度也按均勻分布，所以θ的概率密度：

f(θ)=1/2π

因為變量r和θ獨立，因此二維隨機變量(r，θ)的分布函數F(r，θ)和邊緣分布函數FR(r),Fθ (θ)滿足：

 F(r，θ)=FR (r) Fθ(θ)

上式也可用概率密度表示，即等價于聯合概率密度：

f(r,θ )=f(r)*f(θ)=1/πR2

仔細觀察上式可以得知r2 為0到R2均勻分布。有興趣的朋友可以理論推導上面的結論或聯系我們一起探討。 

3.1  仿真模型的實現與驗證

若需按上文所述對銷半徑位置r平方在區間[0,R2 ]內按均勻分布采樣，需按圖4所示設置孔銷浮動類型。

從波動軌跡可以看出，銷在孔內波動體現了很好的均勻性。

圖5 半徑平方按均勻分布采樣

3.2 仿真結果的概率分布

同樣為銷中心建立垂直方向的虛擬測量，進行5000次虛擬裝配后得到圖6仿真測量結果。其中標準差為0.252。

我們與方法1的標準差對比，明顯比方法1的大。由于方法1產生的隨機點在圓心處比較多，因此波動比較小，因此方差比較大。有興趣的朋友可以嘗試推導標準差的模擬結果與理論值的差異有多大。經過理論推導可知理論的標準差0.25，其概率密度如圖7所示。對比圖6方仿真結果，標準差仿真結果與理論吻合。

圖7 銷中心垂直方向波動量理論分布

四、 結論

1. 采用極坐標法實現圓內均勻分布，必須在角度方向滿足均勻分布，并且半徑的平方滿足均勻分布，而不是半徑滿足均勻分布，即半徑的采樣密度隨著遠離中心而升高。我們可以用概率論和微積分的相關數學知識進行嚴格的理論推導來驗證其正確性。

2. 圓中均勻采樣是一些裝配功能的基礎，例如兩/多孔銷裝配中銷中心位置的隨機均勻生成，此功能的正確實現保障了各類孔銷裝配中隨機采樣的準確性，保證軟件仿真結果的正確性。

3. 在DTAS3D中用戶可以根據實際工況選擇上述兩種方法。